1. Шнурівка черевик за принципом Ферма Кажуть, що справжнім математиком може вважатися тільки той, хто...
2. Шнурівка черевик за принципом Ферма
3. Шнурівка черевик за принципом Ферма
4. Шнурівка черевик за принципом Ферма

Шнурівка черевик за принципом Ферма

Кажуть, що справжнім математиком може вважатися тільки той, хто бачить математичні закономірності там, де їх не помічає ніхто. Подивимося, наприклад, на черевиків шнурки і спробуємо дослідити способи, якими вони зав'язані. На це важливе питання серйозні дослідники чомусь довго не звертали уваги. Але восени 1995 року в журналі «Mathematical Intelligencer» з'явилася стаття співробітника Університету північній Каліфорнії Джона Халтон «Проблеми ботінкологіі», яка цю прогалину нарешті заповнила.

П'ять основних способів шнурівки шнурівки: американський зигзаг (1), європейський стандарт (2), шнурівка з запасом (3) і два види канадської затяжки (4,5).

Принцип Ферма визначає один з основних законів геометричної оптики: кут падіння світлового променя на дзеркало дорівнює куту його віддзеркалення. Тому все симетричні відрізки перед дзеркалом і в «Задзеркалля» мають однакову довжину.

Повні діаграми трьох способів шнурівки. Непарні стовпці відповідають лівому ряду отворів, парні - правому. Відстань між стовпчиками одно ширині зазору між двома рядами отворів s, між рядками - відстані між отворами l. «Шнурки» йдуть справа наліво від точки 1 до точки 2n, як би відбиваючись в дзеркалі при переході c лівого боку на праву, і навпаки. Графік американського зигзага має прямолінійні гілки, він коротше двох інших способів шнурівки.

Скорочені діаграми європейської шнурівки і шнурівки з запасом. З розгляду виключені горизонтальні відрізки, тому в рядку залишилося n - 1 отворів. При «тіні» лівих гілок графіків від горизонтальної прямої, що проходить через їх нижні точки, стає очевидним, що шнурівка з запасом довше європейської.

<

>

Нам відомі п'ять основних способів шнурувати черевики: так званий американський зигзаг (який був відомий ще до відкриття Америки), європейський стандарт, шнурівка з запасом і два варіанти канадської затяжки. «Користувач» черевик вибирає той чи інший спосіб, виходячи зі своїх естетичних запитів, зручності і часу, який потрібен для шнурівки. Для виробника взуття найкращим буде спосіб, що вимагає найбільш короткого і, отже, найдешевшого шнурка.

Подивимося, яка довжина шнурка виявляється мінімально необхідної для всіх п'яти способів (вільні кінці, які служать для зав'язування, приймаються однаковими і тому з розгляду виключаються). Черевиків отвори пронумеруємо зверху вниз і будемо вважати їх точками, а шнурок - геометричній лінією, товщини не має. Введемо позначення:

n - число пар отворів,

l - відстань між отворами в ряду,

s - ширина зазору між двома рядами отворів.

Цілком очевидно, що шнурки в обох варіантах канадської затяжки матимуть однакову довжину Lk = (n - l) (s + 2l). Вона повинна бути найменшою з усіх можливих, бо з'єднує всі отвори по найкоротших відстанях. Неважко розрахувати і довжину шнурка для інших способів шнурівки, скориставшись теоремою Піфагора:

Американський зигзаг:

Європейський стандарт:

Шнурівка з запасом:

Яка з цих велич буде найменшою? Припустимо, для простоти, що n = 8 (як і показано на малюнку), l = 2 см, as = 5 см. Тоді всі способи шнурівки дадуть нам у такому значенні:

канадський

LK = 7 (5 + 4) = 63cм

американський

європейський

з запасом

Канадська затягування дійсно виявилася найкоротшою за будь-яких значеннях n, l і s. Але чи завжди з трьох, що залишилися американський зигзаг дає мінімальне значення довжини? Методами математичного аналізу, які вивчають у вузі, можна показати, що якщо n не менш 4, американський спосіб дійсно дає найменшу довжину; кілька більшої довжини вимагає європейський стандарт, а шнурівка з запасом виявляється найменш «економною». При n = 3 американський зигзаг як і раніше виявляється найкоротшим, але інші стають рівними по довжині. Якщо ж отворів тільки два, всі три способи дають однакові результати!

Цей арифметичний підхід, однак, ніяк не пояснює, чому різні способи шнурівки вимагають різної довжини шнурків і чому у американського зигзага вона мінімальна. Наочно показати це вдасться за допомогою геометрії та деяких фізичних ідей.

В середині XVII століття французький математик і фізик П'єр Ферма (широко відомий завдяки своїй знаменитій «великої теореми») встановив основний принцип геометричної оптики. У сучасному формулюванні він говорить, що світло завжди поширюється по шляху, який вимагає для подолання найменшого часу. Цей принцип, зокрема, пояснює закони заломлення і відбиття світла.

Джон Халтон використовував принцип Ферма в своїх дослідженнях по «ботінкологіі». Він склав прямокутну діаграму, де по горизонтальних рядках були відкладені 2n точок з інтервалом s між ними і відстанню l по вертикалі між n рядками. Непарні стовпці діаграми зображують лівий ряд отворів, парні - правий (з точки зору господаря черевик). Почнемо «шнурувати» діаграму, поєднуючи лінією точки (1,1) і (2n, 1) різними способами. При цьому щоразу будемо переходити, скажімо, від колонки 2 до колонку 3, від 3 - до 4 і так далі, замість того, щоб повертатися до 1, 2 і знову до 1, як в справжніх черевиках. Це рівнозначно тому, що кожен стовпець як би грає роль дзеркала, в якому за законами геометричної оптики відображаються відрізки шнурка між рядами отворів. І, згідно з тим же законам, відображення мають ту ж довжину, що і самі відрізки.

На вийшла діаграмі американський зигзаг постав у вигляді трьох прямих. Цілком очевидно, що в сумі вони коротші ламаних ліній, що зображують інші способи шнурівки. Не настільки очевидно, однак, що «європейська» шнурівка коротше шнурівки з запасом. Найбільш наочно все це можна показати, якщо викинути з обох графіків відрізки, що йдуть горизонтально. Їх n - 1, всі вони відповідають шматках шнурка, стягує на черевику праві і ліві отвори в одному ряду, і, отже, мають однакову довжину s. У результаті вийдуть два V-образних графіка. Відобразимо ліві гілки кожного, як в дзеркалі, в рядках, що проходять через нижні їх точки. Шнурівці з запасом відповідатиме ламана лінія, а європейським стандартом - пряма, яка коротше будь ламаної. Аналогічним чином при бажанні можна уявити канадську затяжку і інші, ще більш екзотичні способи шнурівки, можливо, відомі читачам.

Принцип Ферма, покладений Д. Халтон в основу аналізу «ботінкологіческіх» проблем, широко застосовується в оптиці, геодезії та геометрії, допомагаючи відповісти на набагато більш важливі питання, ніж - чому американський зигзаг вимагає коротких шнурівки шнурків.

За матеріалами журналу «Scientific American».

Шнурівка черевик за принципом Ферма

Кажуть, що справжнім математиком може вважатися тільки той, хто бачить математичні закономірності там, де їх не помічає ніхто. Подивимося, наприклад, на черевиків шнурки і спробуємо дослідити способи, якими вони зав'язані. На це важливе питання серйозні дослідники чомусь довго не звертали уваги. Але восени 1995 року в журналі «Mathematical Intelligencer» з'явилася стаття співробітника Університету північній Каліфорнії Джона Халтон «Проблеми ботінкологіі», яка цю прогалину нарешті заповнила.

П'ять основних способів шнурівки шнурівки: американський зигзаг (1), європейський стандарт (2), шнурівка з запасом (3) і два види канадської затяжки (4,5).

Принцип Ферма визначає один з основних законів геометричної оптики: кут падіння світлового променя на дзеркало дорівнює куту його віддзеркалення. Тому все симетричні відрізки перед дзеркалом і в «Задзеркалля» мають однакову довжину.

Повні діаграми трьох способів шнурівки. Непарні стовпці відповідають лівому ряду отворів, парні - правому. Відстань між стовпчиками одно ширині зазору між двома рядами отворів s, між рядками - відстані між отворами l. «Шнурки» йдуть справа наліво від точки 1 до точки 2n, як би відбиваючись в дзеркалі при переході c лівого боку на праву, і навпаки. Графік американського зигзага має прямолінійні гілки, він коротше двох інших способів шнурівки.

Скорочені діаграми європейської шнурівки і шнурівки з запасом. З розгляду виключені горизонтальні відрізки, тому в рядку залишилося n - 1 отворів. При «тіні» лівих гілок графіків від горизонтальної прямої, що проходить через їх нижні точки, стає очевидним, що шнурівка з запасом довше європейської.

<

>

Нам відомі п'ять основних способів шнурувати черевики: так званий американський зигзаг (який був відомий ще до відкриття Америки), європейський стандарт, шнурівка з запасом і два варіанти канадської затяжки. «Користувач» черевик вибирає той чи інший спосіб, виходячи зі своїх естетичних запитів, зручності і часу, який потрібен для шнурівки. Для виробника взуття найкращим буде спосіб, що вимагає найбільш короткого і, отже, найдешевшого шнурка.

Подивимося, яка довжина шнурка виявляється мінімально необхідної для всіх п'яти способів (вільні кінці, які служать для зав'язування, приймаються однаковими і тому з розгляду виключаються). Черевиків отвори пронумеруємо зверху вниз і будемо вважати їх точками, а шнурок - геометричній лінією, товщини не має. Введемо позначення:

n - число пар отворів,

l - відстань між отворами в ряду,

s - ширина зазору між двома рядами отворів.

Цілком очевидно, що шнурки в обох варіантах канадської затяжки матимуть однакову довжину Lk = (n - l) (s + 2l). Вона повинна бути найменшою з усіх можливих, бо з'єднує всі отвори по найкоротших відстанях. Неважко розрахувати і довжину шнурка для інших способів шнурівки, скориставшись теоремою Піфагора:

Американський зигзаг:

Європейський стандарт:

Шнурівка з запасом:

Яка з цих велич буде найменшою? Припустимо, для простоти, що n = 8 (як і показано на малюнку), l = 2 см, as = 5 см. Тоді всі способи шнурівки дадуть нам у такому значенні:

канадський

LK = 7 (5 + 4) = 63cм

американський

європейський

з запасом

Канадська затягування дійсно виявилася найкоротшою за будь-яких значеннях n, l і s. Але чи завжди з трьох, що залишилися американський зигзаг дає мінімальне значення довжини? Методами математичного аналізу, які вивчають у вузі, можна показати, що якщо n не менш 4, американський спосіб дійсно дає найменшу довжину; кілька більшої довжини вимагає європейський стандарт, а шнурівка з запасом виявляється найменш «економною». При n = 3 американський зигзаг як і раніше виявляється найкоротшим, але інші стають рівними по довжині. Якщо ж отворів тільки два, всі три способи дають однакові результати!

Цей арифметичний підхід, однак, ніяк не пояснює, чому різні способи шнурівки вимагають різної довжини шнурків і чому у американського зигзага вона мінімальна. Наочно показати це вдасться за допомогою геометрії та деяких фізичних ідей.

В середині XVII століття французький математик і фізик П'єр Ферма (широко відомий завдяки своїй знаменитій «великої теореми») встановив основний принцип геометричної оптики. У сучасному формулюванні він говорить, що світло завжди поширюється по шляху, який вимагає для подолання найменшого часу. Цей принцип, зокрема, пояснює закони заломлення і відбиття світла.

Джон Халтон використовував принцип Ферма в своїх дослідженнях по «ботінкологіі». Він склав прямокутну діаграму, де по горизонтальних рядках були відкладені 2n точок з інтервалом s між ними і відстанню l по вертикалі між n рядками. Непарні стовпці діаграми зображують лівий ряд отворів, парні - правий (з точки зору господаря черевик). Почнемо «шнурувати» діаграму, поєднуючи лінією точки (1,1) і (2n, 1) різними способами. При цьому щоразу будемо переходити, скажімо, від колонки 2 до колонку 3, від 3 - до 4 і так далі, замість того, щоб повертатися до 1, 2 і знову до 1, як в справжніх черевиках. Це рівнозначно тому, що кожен стовпець як би грає роль дзеркала, в якому за законами геометричної оптики відображаються відрізки шнурка між рядами отворів. І, згідно з тим же законам, відображення мають ту ж довжину, що і самі відрізки.

На вийшла діаграмі американський зигзаг постав у вигляді трьох прямих. Цілком очевидно, що в сумі вони коротші ламаних ліній, що зображують інші способи шнурівки. Не настільки очевидно, однак, що «європейська» шнурівка коротше шнурівки з запасом. Найбільш наочно все це можна показати, якщо викинути з обох графіків відрізки, що йдуть горизонтально. Їх n - 1, всі вони відповідають шматках шнурка, стягує на черевику праві і ліві отвори в одному ряду, і, отже, мають однакову довжину s. У результаті вийдуть два V-образних графіка. Відобразимо ліві гілки кожного, як в дзеркалі, в рядках, що проходять через нижні їх точки. Шнурівці з запасом відповідатиме ламана лінія, а європейським стандартом - пряма, яка коротше будь ламаної. Аналогічним чином при бажанні можна уявити канадську затяжку і інші, ще більш екзотичні способи шнурівки, можливо, відомі читачам.

Принцип Ферма, покладений Д. Халтон в основу аналізу «ботінкологіческіх» проблем, широко застосовується в оптиці, геодезії та геометрії, допомагаючи відповісти на набагато більш важливі питання, ніж - чому американський зигзаг вимагає коротких шнурівки шнурків.

За матеріалами журналу «Scientific American».

Шнурівка черевик за принципом Ферма

Кажуть, що справжнім математиком може вважатися тільки той, хто бачить математичні закономірності там, де їх не помічає ніхто. Подивимося, наприклад, на черевиків шнурки і спробуємо дослідити способи, якими вони зав'язані. На це важливе питання серйозні дослідники чомусь довго не звертали уваги. Але восени 1995 року в журналі «Mathematical Intelligencer» з'явилася стаття співробітника Університету північній Каліфорнії Джона Халтон «Проблеми ботінкологіі», яка цю прогалину нарешті заповнила.

П'ять основних способів шнурівки шнурівки: американський зигзаг (1), європейський стандарт (2), шнурівка з запасом (3) і два види канадської затяжки (4,5).

Принцип Ферма визначає один з основних законів геометричної оптики: кут падіння світлового променя на дзеркало дорівнює куту його віддзеркалення. Тому все симетричні відрізки перед дзеркалом і в «Задзеркалля» мають однакову довжину.

Повні діаграми трьох способів шнурівки. Непарні стовпці відповідають лівому ряду отворів, парні - правому. Відстань між стовпчиками одно ширині зазору між двома рядами отворів s, між рядками - відстані між отворами l. «Шнурки» йдуть справа наліво від точки 1 до точки 2n, як би відбиваючись в дзеркалі при переході c лівого боку на праву, і навпаки. Графік американського зигзага має прямолінійні гілки, він коротше двох інших способів шнурівки.

Скорочені діаграми європейської шнурівки і шнурівки з запасом. З розгляду виключені горизонтальні відрізки, тому в рядку залишилося n - 1 отворів. При «тіні» лівих гілок графіків від горизонтальної прямої, що проходить через їх нижні точки, стає очевидним, що шнурівка з запасом довше європейської.

<

>

Нам відомі п'ять основних способів шнурувати черевики: так званий американський зигзаг (який був відомий ще до відкриття Америки), європейський стандарт, шнурівка з запасом і два варіанти канадської затяжки. «Користувач» черевик вибирає той чи інший спосіб, виходячи зі своїх естетичних запитів, зручності і часу, який потрібен для шнурівки. Для виробника взуття найкращим буде спосіб, що вимагає найбільш короткого і, отже, найдешевшого шнурка.

Подивимося, яка довжина шнурка виявляється мінімально необхідної для всіх п'яти способів (вільні кінці, які служать для зав'язування, приймаються однаковими і тому з розгляду виключаються). Черевиків отвори пронумеруємо зверху вниз і будемо вважати їх точками, а шнурок - геометричній лінією, товщини не має. Введемо позначення:

n - число пар отворів,

l - відстань між отворами в ряду,

s - ширина зазору між двома рядами отворів.

Цілком очевидно, що шнурки в обох варіантах канадської затяжки матимуть однакову довжину Lk = (n - l) (s + 2l). Вона повинна бути найменшою з усіх можливих, бо з'єднує всі отвори по найкоротших відстанях. Неважко розрахувати і довжину шнурка для інших способів шнурівки, скориставшись теоремою Піфагора:

Американський зигзаг:

Європейський стандарт:

Шнурівка з запасом:

Яка з цих велич буде найменшою? Припустимо, для простоти, що n = 8 (як і показано на малюнку), l = 2 см, as = 5 см. Тоді всі способи шнурівки дадуть нам у такому значенні:

канадський

LK = 7 (5 + 4) = 63cм

американський

європейський

з запасом

Канадська затягування дійсно виявилася найкоротшою за будь-яких значеннях n, l і s. Але чи завжди з трьох, що залишилися американський зигзаг дає мінімальне значення довжини? Методами математичного аналізу, які вивчають у вузі, можна показати, що якщо n не менш 4, американський спосіб дійсно дає найменшу довжину; кілька більшої довжини вимагає європейський стандарт, а шнурівка з запасом виявляється найменш «економною». При n = 3 американський зигзаг як і раніше виявляється найкоротшим, але інші стають рівними по довжині. Якщо ж отворів тільки два, всі три способи дають однакові результати!

Цей арифметичний підхід, однак, ніяк не пояснює, чому різні способи шнурівки вимагають різної довжини шнурків і чому у американського зигзага вона мінімальна. Наочно показати це вдасться за допомогою геометрії та деяких фізичних ідей.

В середині XVII століття французький математик і фізик П'єр Ферма (широко відомий завдяки своїй знаменитій «великої теореми») встановив основний принцип геометричної оптики. У сучасному формулюванні він говорить, що світло завжди поширюється по шляху, який вимагає для подолання найменшого часу. Цей принцип, зокрема, пояснює закони заломлення і відбиття світла.

Джон Халтон використовував принцип Ферма в своїх дослідженнях по «ботінкологіі». Він склав прямокутну діаграму, де по горизонтальних рядках були відкладені 2n точок з інтервалом s між ними і відстанню l по вертикалі між n рядками. Непарні стовпці діаграми зображують лівий ряд отворів, парні - правий (з точки зору господаря черевик). Почнемо «шнурувати» діаграму, поєднуючи лінією точки (1,1) і (2n, 1) різними способами. При цьому щоразу будемо переходити, скажімо, від колонки 2 до колонку 3, від 3 - до 4 і так далі, замість того, щоб повертатися до 1, 2 і знову до 1, як в справжніх черевиках. Це рівнозначно тому, що кожен стовпець як би грає роль дзеркала, в якому за законами геометричної оптики відображаються відрізки шнурка між рядами отворів. І, згідно з тим же законам, відображення мають ту ж довжину, що і самі відрізки.

На вийшла діаграмі американський зигзаг постав у вигляді трьох прямих. Цілком очевидно, що в сумі вони коротші ламаних ліній, що зображують інші способи шнурівки. Не настільки очевидно, однак, що «європейська» шнурівка коротше шнурівки з запасом. Найбільш наочно все це можна показати, якщо викинути з обох графіків відрізки, що йдуть горизонтально. Їх n - 1, всі вони відповідають шматках шнурка, стягує на черевику праві і ліві отвори в одному ряду, і, отже, мають однакову довжину s. У результаті вийдуть два V-образних графіка. Відобразимо ліві гілки кожного, як в дзеркалі, в рядках, що проходять через нижні їх точки. Шнурівці з запасом відповідатиме ламана лінія, а європейським стандартом - пряма, яка коротше будь ламаної. Аналогічним чином при бажанні можна уявити канадську затяжку і інші, ще більш екзотичні способи шнурівки, можливо, відомі читачам.

Принцип Ферма, покладений Д. Халтон в основу аналізу «ботінкологіческіх» проблем, широко застосовується в оптиці, геодезії та геометрії, допомагаючи відповісти на набагато більш важливі питання, ніж - чому американський зигзаг вимагає коротких шнурівки шнурків.

За матеріалами журналу «Scientific American».

Шнурівка черевик за принципом Ферма

Кажуть, що справжнім математиком може вважатися тільки той, хто бачить математичні закономірності там, де їх не помічає ніхто. Подивимося, наприклад, на черевиків шнурки і спробуємо дослідити способи, якими вони зав'язані. На це важливе питання серйозні дослідники чомусь довго не звертали уваги. Але восени 1995 року в журналі «Mathematical Intelligencer» з'явилася стаття співробітника Університету північній Каліфорнії Джона Халтон «Проблеми ботінкологіі», яка цю прогалину нарешті заповнила.

П'ять основних способів шнурівки шнурівки: американський зигзаг (1), європейський стандарт (2), шнурівка з запасом (3) і два види канадської затяжки (4,5).

Принцип Ферма визначає один з основних законів геометричної оптики: кут падіння світлового променя на дзеркало дорівнює куту його віддзеркалення. Тому все симетричні відрізки перед дзеркалом і в «Задзеркалля» мають однакову довжину.

Повні діаграми трьох способів шнурівки. Непарні стовпці відповідають лівому ряду отворів, парні - правому. Відстань між стовпчиками одно ширині зазору між двома рядами отворів s, між рядками - відстані між отворами l. «Шнурки» йдуть справа наліво від точки 1 до точки 2n, як би відбиваючись в дзеркалі при переході c лівого боку на праву, і навпаки. Графік американського зигзага має прямолінійні гілки, він коротше двох інших способів шнурівки.

Скорочені діаграми європейської шнурівки і шнурівки з запасом. З розгляду виключені горизонтальні відрізки, тому в рядку залишилося n - 1 отворів. При «тіні» лівих гілок графіків від горизонтальної прямої, що проходить через їх нижні точки, стає очевидним, що шнурівка з запасом довше європейської.

<

>

Нам відомі п'ять основних способів шнурувати черевики: так званий американський зигзаг (який був відомий ще до відкриття Америки), європейський стандарт, шнурівка з запасом і два варіанти канадської затяжки. «Користувач» черевик вибирає той чи інший спосіб, виходячи зі своїх естетичних запитів, зручності і часу, який потрібен для шнурівки. Для виробника взуття найкращим буде спосіб, що вимагає найбільш короткого і, отже, найдешевшого шнурка.

Подивимося, яка довжина шнурка виявляється мінімально необхідної для всіх п'яти способів (вільні кінці, які служать для зав'язування, приймаються однаковими і тому з розгляду виключаються). Черевиків отвори пронумеруємо зверху вниз і будемо вважати їх точками, а шнурок - геометричній лінією, товщини не має. Введемо позначення:

n - число пар отворів,

l - відстань між отворами в ряду,

s - ширина зазору між двома рядами отворів.

Цілком очевидно, що шнурки в обох варіантах канадської затяжки матимуть однакову довжину Lk = (n - l) (s + 2l). Вона повинна бути найменшою з усіх можливих, бо з'єднує всі отвори по найкоротших відстанях. Неважко розрахувати і довжину шнурка для інших способів шнурівки, скориставшись теоремою Піфагора:

Американський зигзаг:

Європейський стандарт:

Шнурівка з запасом:

Яка з цих велич буде найменшою? Припустимо, для простоти, що n = 8 (як і показано на малюнку), l = 2 см, as = 5 см. Тоді всі способи шнурівки дадуть нам у такому значенні:

канадський

LK = 7 (5 + 4) = 63cм

американський

європейський

з запасом

Канадська затягування дійсно виявилася найкоротшою за будь-яких значеннях n, l і s. Але чи завжди з трьох, що залишилися американський зигзаг дає мінімальне значення довжини? Методами математичного аналізу, які вивчають у вузі, можна показати, що якщо n не менш 4, американський спосіб дійсно дає найменшу довжину; кілька більшої довжини вимагає європейський стандарт, а шнурівка з запасом виявляється найменш «економною». При n = 3 американський зигзаг як і раніше виявляється найкоротшим, але інші стають рівними по довжині. Якщо ж отворів тільки два, всі три способи дають однакові результати!

Цей арифметичний підхід, однак, ніяк не пояснює, чому різні способи шнурівки вимагають різної довжини шнурків і чому у американського зигзага вона мінімальна. Наочно показати це вдасться за допомогою геометрії та деяких фізичних ідей.

В середині XVII століття французький математик і фізик П'єр Ферма (широко відомий завдяки своїй знаменитій «великої теореми») встановив основний принцип геометричної оптики. У сучасному формулюванні він говорить, що світло завжди поширюється по шляху, який вимагає для подолання найменшого часу. Цей принцип, зокрема, пояснює закони заломлення і відбиття світла.

Джон Халтон використовував принцип Ферма в своїх дослідженнях по «ботінкологіі». Він склав прямокутну діаграму, де по горизонтальних рядках були відкладені 2n точок з інтервалом s між ними і відстанню l по вертикалі між n рядками. Непарні стовпці діаграми зображують лівий ряд отворів, парні - правий (з точки зору господаря черевик). Почнемо «шнурувати» діаграму, поєднуючи лінією точки (1,1) і (2n, 1) різними способами. При цьому щоразу будемо переходити, скажімо, від колонки 2 до колонку 3, від 3 - до 4 і так далі, замість того, щоб повертатися до 1, 2 і знову до 1, як в справжніх черевиках. Це рівнозначно тому, що кожен стовпець як би грає роль дзеркала, в якому за законами геометричної оптики відображаються відрізки шнурка між рядами отворів. І, згідно з тим же законам, відображення мають ту ж довжину, що і самі відрізки.

На вийшла діаграмі американський зигзаг постав у вигляді трьох прямих. Цілком очевидно, що в сумі вони коротші ламаних ліній, що зображують інші способи шнурівки. Не настільки очевидно, однак, що «європейська» шнурівка коротше шнурівки з запасом. Найбільш наочно все це можна показати, якщо викинути з обох графіків відрізки, що йдуть горизонтально. Їх n - 1, всі вони відповідають шматках шнурка, стягує на черевику праві і ліві отвори в одному ряду, і, отже, мають однакову довжину s. У результаті вийдуть два V-образних графіка. Відобразимо ліві гілки кожного, як в дзеркалі, в рядках, що проходять через нижні їх точки. Шнурівці з запасом відповідатиме ламана лінія, а європейським стандартом - пряма, яка коротше будь ламаної. Аналогічним чином при бажанні можна уявити канадську затяжку і інші, ще більш екзотичні способи шнурівки, можливо, відомі читачам.

Принцип Ферма, покладений Д. Халтон в основу аналізу «ботінкологіческіх» проблем, широко застосовується в оптиці, геодезії та геометрії, допомагаючи відповісти на набагато більш важливі питання, ніж - чому американський зигзаг вимагає коротких шнурівки шнурків.

За матеріалами журналу «Scientific American».

Шнурівка черевик за принципом Ферма

Кажуть, що справжнім математиком може вважатися тільки той, хто бачить математичні закономірності там, де їх не помічає ніхто. Подивимося, наприклад, на черевиків шнурки і спробуємо дослідити способи, якими вони зав'язані. На це важливе питання серйозні дослідники чомусь довго не звертали уваги. Але восени 1995 року в журналі «Mathematical Intelligencer» з'явилася стаття співробітника Університету північній Каліфорнії Джона Халтон «Проблеми ботінкологіі», яка цю прогалину нарешті заповнила.

П'ять основних способів шнурівки шнурівки: американський зигзаг (1), європейський стандарт (2), шнурівка з запасом (3) і два види канадської затяжки (4,5).

Принцип Ферма визначає один з основних законів геометричної оптики: кут падіння світлового променя на дзеркало дорівнює куту його віддзеркалення. Тому все симетричні відрізки перед дзеркалом і в «Задзеркалля» мають однакову довжину.

Повні діаграми трьох способів шнурівки. Непарні стовпці відповідають лівому ряду отворів, парні - правому. Відстань між стовпчиками одно ширині зазору між двома рядами отворів s, між рядками - відстані між отворами l. «Шнурки» йдуть справа наліво від точки 1 до точки 2n, як би відбиваючись в дзеркалі при переході c лівого боку на праву, і навпаки. Графік американського зигзага має прямолінійні гілки, він коротше двох інших способів шнурівки.

Скорочені діаграми європейської шнурівки і шнурівки з запасом. З розгляду виключені горизонтальні відрізки, тому в рядку залишилося n - 1 отворів. При «тіні» лівих гілок графіків від горизонтальної прямої, що проходить через їх нижні точки, стає очевидним, що шнурівка з запасом довше європейської.

<

>

Нам відомі п'ять основних способів шнурувати черевики: так званий американський зигзаг (який був відомий ще до відкриття Америки), європейський стандарт, шнурівка з запасом і два варіанти канадської затяжки. «Користувач» черевик вибирає той чи інший спосіб, виходячи зі своїх естетичних запитів, зручності і часу, який потрібен для шнурівки. Для виробника взуття найкращим буде спосіб, що вимагає найбільш короткого і, отже, найдешевшого шнурка.

Подивимося, яка довжина шнурка виявляється мінімально необхідної для всіх п'яти способів (вільні кінці, які служать для зав'язування, приймаються однаковими і тому з розгляду виключаються). Черевиків отвори пронумеруємо зверху вниз і будемо вважати їх точками, а шнурок - геометричній лінією, товщини не має. Введемо позначення:

n - число пар отворів,

l - відстань між отворами в ряду,

s - ширина зазору між двома рядами отворів.

Цілком очевидно, що шнурки в обох варіантах канадської затяжки матимуть однакову довжину Lk = (n - l) (s + 2l). Вона повинна бути найменшою з усіх можливих, бо з'єднує всі отвори по найкоротших відстанях. Неважко розрахувати і довжину шнурка для інших способів шнурівки, скориставшись теоремою Піфагора:

Американський зигзаг:

Європейський стандарт:

Шнурівка з запасом:

Яка з цих велич буде найменшою? Припустимо, для простоти, що n = 8 (як і показано на малюнку), l = 2 см, as = 5 см. Тоді всі способи шнурівки дадуть нам у такому значенні:

канадський

LK = 7 (5 + 4) = 63cм

американський

європейський

з запасом

Канадська затягування дійсно виявилася найкоротшою за будь-яких значеннях n, l і s. Але чи завжди з трьох, що залишилися американський зигзаг дає мінімальне значення довжини? Методами математичного аналізу, які вивчають у вузі, можна показати, що якщо n не менш 4, американський спосіб дійсно дає найменшу довжину; кілька більшої довжини вимагає європейський стандарт, а шнурівка з запасом виявляється найменш «економною». При n = 3 американський зигзаг як і раніше виявляється найкоротшим, але інші стають рівними по довжині. Якщо ж отворів тільки два, всі три способи дають однакові результати!

Цей арифметичний підхід, однак, ніяк не пояснює, чому різні способи шнурівки вимагають різної довжини шнурків і чому у американського зигзага вона мінімальна. Наочно показати це вдасться за допомогою геометрії та деяких фізичних ідей.

В середині XVII століття французький математик і фізик П'єр Ферма (широко відомий завдяки своїй знаменитій «великої теореми») встановив основний принцип геометричної оптики. У сучасному формулюванні він говорить, що світло завжди поширюється по шляху, який вимагає для подолання найменшого часу. Цей принцип, зокрема, пояснює закони заломлення і відбиття світла.

Джон Халтон використовував принцип Ферма в своїх дослідженнях по «ботінкологіі». Він склав прямокутну діаграму, де по горизонтальних рядках були відкладені 2n точок з інтервалом s між ними і відстанню l по вертикалі між n рядками. Непарні стовпці діаграми зображують лівий ряд отворів, парні - правий (з точки зору господаря черевик). Почнемо «шнурувати» діаграму, поєднуючи лінією точки (1,1) і (2n, 1) різними способами. При цьому щоразу будемо переходити, скажімо, від колонки 2 до колонку 3, від 3 - до 4 і так далі, замість того, щоб повертатися до 1, 2 і знову до 1, як в справжніх черевиках. Це рівнозначно тому, що кожен стовпець як би грає роль дзеркала, в якому за законами геометричної оптики відображаються відрізки шнурка між рядами отворів. І, згідно з тим же законам, відображення мають ту ж довжину, що і самі відрізки.

На вийшла діаграмі американський зигзаг постав у вигляді трьох прямих. Цілком очевидно, що в сумі вони коротші ламаних ліній, що зображують інші способи шнурівки. Не настільки очевидно, однак, що «європейська» шнурівка коротше шнурівки з запасом. Найбільш наочно все це можна показати, якщо викинути з обох графіків відрізки, що йдуть горизонтально. Їх n - 1, всі вони відповідають шматках шнурка, стягує на черевику праві і ліві отвори в одному ряду, і, отже, мають однакову довжину s. У результаті вийдуть два V-образних графіка. Відобразимо ліві гілки кожного, як в дзеркалі, в рядках, що проходять через нижні їх точки. Шнурівці з запасом відповідатиме ламана лінія, а європейським стандартом - пряма, яка коротше будь ламаної. Аналогічним чином при бажанні можна уявити канадську затяжку і інші, ще більш екзотичні способи шнурівки, можливо, відомі читачам.

Принцип Ферма, покладений Д. Халтон в основу аналізу «ботінкологіческіх» проблем, широко застосовується в оптиці, геодезії та геометрії, допомагаючи відповісти на набагато більш важливі питання, ніж - чому американський зигзаг вимагає коротких шнурівки шнурків.

За матеріалами журналу «Scientific American».