§ 17. Циліндр

17.1. Визначення циліндра і його елементів

Визначення. Тіло, яке утворюється при обертанні прямокутника навколо прямої, що містить його сторону, називається циліндром (рис. 141).

Кола, утворені обертанням сторін прямокутника, перпендикулярних осі обертання, називаються підставами циліндра (верхнім і нижнім). Так як протилежні сторони прямокутника рівні, то підставами циліндра є рівні кола.

Поверхня, утворена обертанням сторони прямокутника, паралельної осі обертання, називається бічною поверхнею циліндра, а її площа - площею бічної поверхні циліндра і позначається S бік. Об'єднання бічній поверхні циліндра і двох його підстав називається повною поверхнею циліндра, а її площа позначається S повн. Таким чином,

Висотою циліндра називається перпендикуляр, проведений з будь-якої точки одного підстави циліндра до площини іншого. Довжину цього перпендикуляра також називають висотою циліндра. Відрізок, що з'єднує точки кіл підстав і перпендикулярний до їх площинах, називається утворює циліндра обертання. Відрізок осі обертання, укладений всередині циліндра, називається віссю циліндра.

Утворюють циліндра обертання перпендикулярні площинах його підстав, а в основі циліндра - коло, тому такий циліндр називається прямим круговим циліндром (рис. 142, а).

Якщо підстави прямого кругового циліндра піддати стисненню так, щоб окружність підстави перетворилася в еліпс, то отримаємо циліндр, який називається еліптичним циліндром (рис. 142, б).

Так як коло при паралельному проектуванні зображується еліпсом, то зображення кругового і еліптичного циліндрів збігаються.

Циліндр, що утворюють якого не перпендикулярні площинах його підстав, називається похилим циліндром (рис. 142, в).

Нам належить вивчати лише прямий круговий циліндр, тому слова «прямий круговий» опускаємо.

Поверхня, утворену обертанням прямої, паралельної осі обертання, називають циліндричною поверхнею обертання (рис. 143).

Рівняння x 2 + y 2 = r 2 (r> 0) задає циліндричну поверхню обертання з віссю обертання Oz і радіусом підстави r. З цього рівняння випливає, що циліндрична поверхня є поверхнею другого порядку. (Детальніше про поверхнях другого порядку можна прочитати в «Додатках» в кінці цієї книги.)

17.2. властивості циліндра

а) Перетини циліндра площиною. Так як циліндр є тілом обертання, то будь-яке його перпендикулярний переріз є коло, а перпендикулярний переріз бічній поверхні циліндра - коло; центри цих кіл і кіл - точки перетину січних площин і осі циліндра (рис. 144).

Якщо січна площина перетинає вісь циліндра і не перпендикулярна їй, то в перерізі може вийти еліпс (рис. 145) або його деяка частина (рис. 146, 147). Це випливає з того, що паралельної проекцією кола на площину, що не паралельну площині кола, є еліпс. (Згадайте: нахиливши циліндричний скляну посудину з водою, ви бачите на поверхні води еліпс або його частину.)

Перетин циліндра площиною, що проходить через вісь, називається осьовим перерізом циліндра. Так як поворот простору навколо прямої на кут 180 ° є осьової симетрією щодо осі обертання, то вісь прямого кругового циліндра є його віссю симетрії. Значить, осьовим перерізом циліндра обертання є прямокутник, стороникоторого рівні діаметру підстави і утворює циліндра (рис. 148). При цьому всі осьові перетину циліндра - рівні між собою прямокутники.

Циліндр, осьовий переріз якого - квадрат, називають рівностороннім циліндром (рис. 149).

Так як все що утворюють циліндра рівні і паралельні один одному, то будь-який перетин циліндра площиною, паралельною його осі, є прямокутник, висота якого дорівнює твірної циліндра (рис. 150).

б) Зображення циліндра. Щоб побудувати зображення циліндра, досить побудувати: 1) прямокутник AВB 1 A 1 і його вісь OO 1 (рис. 151); 2) два рівних еліпса, центрами яких є точки O і O 1 і осями - відрізки АВ і A 1 У 1. Виділивши штрихами невидимі лінії, отримуємо дані зображення циліндра.

в) Дотична площина до циліндра.

Визначення. Площина, що проходить через творчу циліндра перпендикулярно площині осьового перерізу, проведеної через цю твірну, називається дотичній площиною до циліндра (рис. 152).

Кажуть, що площина α стосується циліндра (циліндричної поверхні) по котра утворює DD 1, кожна точка утворює DD 1 є точкою дотику площині α і даного циліндра.

Через будь-яку точку бічної поверхні циліндра проходить тільки одна його утворює. Через цю творчу можна провести тільки одне осьовий переріз і тільки одну площину, перпендикулярну площині цього осьового перерізу. Отже, через кожну точку бічної поверхні циліндра можна провести лише одну площину, дотичну до даного циліндра в цій точці.

17.3. Розгортка і площа поверхні циліндра

Слід зауважити, що розгортка поверхні обертання - поняття в певній мірі інтуїтивне. До того ж не для кожної поверхні тіла обертання можна побудувати її розгортку. Іншими словами, не кожну поверхню можна «розгорнути» на площині. Наприклад, не існує розгортки сфери (див. Розділ «Диференціальна геометрія» в кінці цієї книги).

Розгортку циліндра ми також введемо на інтуїтивному рівні.

Нехай R - радіус підстави, h - висота циліндра.

Повна поверхня циліндра складається з його бічної поверхні і двох підстав - рівних кіл. Якщо цю поверхню «розрізати» по котра утворює DD 1 (рис. 153) і по колах підстав, потім бічну поверхню розгорнути на площині, то одержимо розгортку повної поверхні циліндра (рис. 154), що складається з прямокутника і двох рівних кіл, що стосуються протилежних сторін цього прямокутника (рис. 155).

Спробуйте виготовити розгортку циліндра і склеїти з неї циліндр.

За площу бічної поверхні циліндра приймається площа її розгортки, тобто. Е. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі прямокутника, у якого одна сторона дорівнює довжині окружності підстави циліндра, а інша сторона - висоті циліндра:

Таким чином, доведена наступна теорема.

Теорема 26. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола підстави на висоту. ▼

Площа круга радіуса R дорівнює π R 2, тому S осн = π R 2. Тоді для знаходження площі повної поверхню циліндра справедливо:

Слідство. Нехай циліндр утворений обертанням прямокутника ABCD навколо його висоти AD (рис. 156). тоді

Якщо EF - серединний перпендикуляр до котра утворює BC, проведений з точки F осі l циліндра, то EF = CD. З огляду на, що ВС = AD, отримуємо: S-пліч = 2 π EF • AD, т. Е. Бокова поверхня циліндра дорівнює добутку висоти циліндра на довжину окружності, радіус якої дорівнює довжині серединного перпендикуляра його утворює, проведеного з точки оcu циліндра.

Це наслідок знайде своє застосування в п. 19.7.

17. 4. Призми, вписані в циліндр і описані навколо циліндра

Нам належить вирішувати завдання, в яких розглядаються багатогранники, вписані в фігури обертання і описані навколо них.

Для правильного і наочного зображення конфігурацій з таких багатогранників і фігур обертання необхідно вірно зображувати правильні багатокутники, вписані в коло (коло) або описані навколо неї.

Визначення. Призма називається вписаною в циліндр, якщо підстави призми вписані в основи циліндра (рис. 157).

Циліндр в цьому випадку називають описаним близько призми.

Бічні ребра призми з'єднують відповідні вершини її підстав, вписаних в основи циліндра. Ці вершини лежать на колах основ циліндра. Утворюють циліндра з'єднують відповідні точки кіл його підстав і паралельні бічним ребрам призми. Отже, бічні ребра вписаної в циліндр призми - утворюють циліндра.

Визначення. Призма називається описаною навколо циліндра, якщо підстави призми описані близько підстав циліндра.

Циліндр при цьому називають вписаним в призму (рис. 158).

Так як відповідні сторони підстав призми паралельні один одному і перпендикулярні радіусів основ циліндра, проведеним в точки дотику, то площини бічних граней призми є дотичними площинами до циліндра: ці площини торкаються поверхні циліндра по утворюючим, що з'єднує точки, в яких сторони підстав призми стосуються кіл підстав циліндра.

При зображенні правильних призм, вписаних в циліндр, слід керуватися алгоритмами побудов зображень правильних багатокутників, вписаних в коло.

Отже, для побудови зображення правильної призми, вписаної в циліндр: 1) будуємо зображення циліндра; 2) будуємо зображення правильного багатокутника, вписаного в верхнє підставу циліндра; 3) через вершини побудованого вписаного багатокутника проводимо утворюють циліндра; 4) в нижньому підставі циліндра послідовно з'єднуємо кінці цих утворюють; 5) виділяємо видимі і невидимі лінії (відрізки) зображуваних фігур.

На малюнку 159 зображені вписані в циліндр: призма, в основі якої прямокутний трикутник (рис. 159, а); правильна чотирикутна призма (рис. 159, б); правильна трикутна призма (рис. 159, в); правильна шестикутна призма (рис. 159, г).

 ЗАВДАННЯ (3.029). Діагональ осьового перерізу рівностороннього циліндра дорівнює a . Знайти площі бічної і повної поверхонь правильної призми, вписаної в цей циліндр, якщо призма: а) трикутна; б) чотирикутна; в) шестикутна.

Решени е. Розглянемо випадок а). Нехай в рівносторонній циліндр вписана правильна призма ABCA 1 B 1 C 1 (рис. 160); CDD 1 C 1 - осьовий переріз; OO 1 = h - висота циліндра; ОС = R - радіус основи циліндра.

Так як циліндр - рівносторонній, то CDD 1 C 1 - квадрат, значить, висота циліндра дорівнює діаметру його заснування. Тоді в квадраті СDD 1 З 1 знаходимо CD = = A = h.

Далі, △ АВС - правильний, вписаний в основу, радіус якого R = = . Значить, сторона АВ і висота РЄ цього трикутника рівні: АВ = R = , РЄ = R = a. Звідки

тоді

Відповідь: a) ; .

 ЗАВДАННЯ (3.032). У рівносторонній циліндр, висота якого дорівнює a, вписана правильна призма. Знайти відстань і кут між діагоналлю бічної грані призми і віссю циліндра, якщо призма: а) трикутна; б) чотирикутна; в) шестикутна.

Решени е. Розглянемо випадок б). Нехай ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - вписана в циліндр правильна призма (рис. 161). Знайдемо відстань і кут між віссю OO 1 циліндра і скрещивающейся з нею (чому?) Діагоналлю АВ 1 бічної грані ABB 1 A 1 даної призми.

Відстань між перехресними прямими дорівнює відстані між паралельними площинами, проведеними через ці прямі.

Якщо точка Е - середина відрізка AD, то відстань між перехресними прямими AB 1 і OO 1 дорівнює відстані між площиною грані ABB 1 A 1 і паралельної їй (чому?) Площиною перетину EFF 1 E 1. Це відстань дорівнює довжині відрізка ОK (де точка K - середина АВ), так як OK ⟂ (ABB 1) і (ABB 1) || (EFF 1).

Оскільки даний циліндр - рівносторонній, то BDD 1 B 1 - квадрат зі стороною BD = ВВ 1 = a. Тоді АВ = = . Значить, ОK = АЕ = = - шукане відстань між прямими ГО 1 і АВ 1.

Позначимо ∠ (OO 1; AB 1) = φ, M = AB 1 ∩ A 1 B. Для знаходження кута φ проведемо в межі ABB 1 A 1 пряму KK 1 || OO 1. Тоді φ = ∠ (OO 1; AB 1) = ∠ (KK 1; AB 1). Так як KK 1 || OO 1, OO 1 ⟂ (ABC), то MK ⟂ AB. Тому △ АKМ - прямокутний. У цьому трикутнику Аk = , KМ = . Значить, tg φ = = , Звідки φ = arctg .

Відповідь: б) , arctg .

У багатьох посібниках з геометрії за площу бічної поверхні циліндра приймають межа послідовності площ бічних поверхонь правильних вписаних в циліндр (або описаних близько циліндра) n- вугільних призм при n → + ∞.

Дійсно, S-пліч. пов. призм = h • P осн. призм, де Р осн. призм - периметр основи призми, h - длінаеё висоти. Для правильних вписаних в циліндр призм h - постійна величина, що дорівнює довжині висоти циліндра, а межа послідовності периметрів правильних багатокутників, вписаних в коло (підстава циліндра), дорівнює довжині цієї окружності. Таким чином, ми знову отримуємо: S-пліч = 2 π Rh.

17.5. обсяг циліндра

Нагадаємо прийняте нами угоду, засноване на принципі Кавальєрі.

«Нехай дано два тіла і площину. Якщо кожна площина, паралельна даній площині і перетинає одне з цих тіл, перетинає також і інше, причому площі перетинів, утворених при перетині обох тіл, відносяться як m: n, то і обсяги цих тіл відносяться як m: n ».

Розташуємо циліндр, що має висоту h і радіус підстави R, і прямокутний паралелепіпед з ребрами h, R, R так, щоб їх підстави знаходилися на двох паралельних площинах, відстань між якими дорівнює h (рис. 162). Кожна площина, паралельна даними площинах і перетинає циліндр, перетинає також прямокутний паралелепіпед, причому площі утворених при перетині обох тел перетинів відносяться як π • R 2: R 2 = π: 1. Тоді і для обсягів цих тіл справедливо: V цил: V парал = π: 1 або V цил: (R 2 • h) = π: 1, звідки

Якщо циліндр висотою h перетнути площиною, паралельної його осі, то цей циліндр розіб'ється на два тіла (рис. 163). Обсяги цих тіл відносяться як площі сегментів, що утворилися в основі циліндра (доведіть це на підставі принципу Кавальєрі). Отже, обсяг кожного з цих тіл може бути обчислений за формулою

Будь-яка площина, проведена через середину осі циліндра, розбиває цей циліндр на два рівновеликих тіла (рис. 164), обсяг V кожного з яких дорівнює половині обсягу даного циліндра, т. Е. V = π • R 2 • h.

Спробуйте, виходячи з цієї формули, довести, що в такому випадку обсяг кожної частини циліндра (див. Рис. 164) може бути обчислений за формулою:

де a і b - довжини відрізків, на які утворює циліндра ділиться січною площиною.