теорема Піфагора

  1. докази правити
  2. Через подібні трикутники правити
  3. Докази методом площ правити
  4. Доказ через равнодополняемость правити
  5. доказ Евкліда правити
  6. Доказ Леонардо да Вінчі правити
  7. Доказ методом нескінченно малих правити
  8. Варіації і узагальнення правити
  9. теорема косинусів правити
  10. довільний трикутник правити
  11. Теорема Паппа про площі правити
  12. багатовимірні узагальнення правити
  13. неевклидова геометрія правити
  14. сферична геометрія правити
  15. геометрія Лобачевського правити
  16. Відстань в двовимірних прямокутних системах правити
  17. евклидова метрика правити
  18. теорія чисел правити

Ця сторінка також доступна українською мовою. подивіться: Теорема_Піфагора Ця сторінка також доступна українською мовою

Схема, яка пояснює доказ теореми Піфагора через равнодополняемость Шаблон: Перехід .

Теорема Піфагора - одна з основних теорем евклідової геометрії , Що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника : Сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи .

Співвідношення в тому чи іншому вигляді імовірно було відомо різних древніх цивілізацій задовго до нашої ери; перший геометричне доказ приписується Піфагору . Затвердження з'являється як Пропозиція 47 в « Засадах » Евкліда Шаблон: Перехід .

Також може бути виражена як геометричний факт про те, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. Вірно і зворотне твердження Шаблон: Перехід : Трикутник, сума квадратів довжин двох сторін якого дорівнює квадрату довжини третьої сторони, є прямокутним.

Існує ряд узагальнень даної теореми Шаблон: Перехід - для довільних трикутників, для фігур в просторах вищих розмірностей. У неевклідових геометрії теорема не виконується Шаблон: Перехід .

На думку історика математики Моріца Кантора , В Давньому Єгипті за часів царя Аменемхета I (близько XXIII століття до н. е. ) Було відомо про прямокутному трикутнику зі сторонами 3, 4, 5 - його використовували гарпедонапти - «натягівателі мотузок» [1] . У древневавилонском тексті, относимом до часів Хаммурапі ( XX століття до н. Е. ), Наведено наближене обчислення гіпотенузи [2] . На думку Ван-дер-Вардена , Дуже ймовірно, що співвідношення в загальному вигляді було відомо в Вавилоні вже близько XVIII століття до н. е.

Малюнок з книги Чжоу бі суань цзин (500-200 років до нашої ери)

В старокитайської книзі « Чжоу бі суань цзин », Які відносять до періоду V-III століть Шаблон: Доне , Наводиться трикутник зі сторонами 3, 4 і 5, до того ж зображення можна трактувати як графічне обгрунтування співвідношення теореми [3] . У китайському збірнику завдань « Математика в дев'яти книгах »(X-II століть Шаблон: Доне ) Застосування теореми присвячена окрема книга.

Загальноприйнято, що доказ співвідношення дано давньогрецьким філософом Піфагором (570-490 до н. Е.). Є свідчення Прокла (412-485 н. Е.), Що Піфагор використовував алгебраїчні методи, щоб знаходити піфагорові трійки Шаблон: Перехід Шаблон: Sfn , Але при цьому протягом п'яти століть після смерті Піфагора прямих згадок про доведення його авторства чи не знаходиться. Однак, коли такі автори, як Плутарх і Цицерон , Пишуть про теорему Піфагора, зі змісту випливає, ніби авторство Піфагора загальновідомо і безсумнівно Шаблон: Sfn [4] . Існує переказ, повідомлене Діогеном Лаертським , Згідно з яким Піфагор нібито відсвяткував відкриття своєї теореми гігантським бенкетом, у жертву принесений на радощах сотню биків [5] .

Приблизно в 400 році до н. е., згідно Проклу, Платон дав метод знаходження піфагорових трійок, що поєднує алгебру і геометрію. Близько в 300 року до н. е. в «Засадах» Евкліда з'явилося найстаріше аксіоматична доказ теореми Піфагора [6] .

Сума площ квадратів, що спираються на катети $ a $ і $ b $, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі $ c $

Основна формулювання містить алгебраїчні дії - в прямокутному трикутнику, довжини катетів якого рівні $ a $ і $ b $, а довжина гіпотенузи - $ c $, виконано співвідношення:

$ A ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 $.

Шаблон: Якір Можлива і еквівалентна геометрична формулювання, яка вдається до поняття площі фігури : В прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. У такому вигляді теорема сформульована в Засадах Евкліда.

Шаблон: Якір Зворотній теорема Піфагора - твердження про прямоугольности всякого трикутника, довжини сторін якого пов'язані співвідношенням $ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 $. Як наслідок, для будь-якої трійки позитивних чисел $ a $, $ b $ і $ c $, такий, що $ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 $, існує прямокутний трикутник з катетами $ a $ і $ b $ і гипотенузой $ c $.

докази правити

У науковій літературі зафіксовано не менше 400 доказів теореми Піфагора [7] , Що пояснюється як фундаментальне значення для геометрії, так і елементарністю результату. Основні напрямки доказів: алгебраїчне використання співвідношень елементів трикутника (такий, наприклад, популярний метод подібності Шаблон: Перехід ), Метод площ Шаблон: Перехід , Існують також різні екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).

Через подібні трикутники правити

Одним з найбільш популярних в навчальній літературі доказів алгебраїчної формулювання є доказ з використанням техніки подібності трикутників , При цьому воно майже безпосередньо виводиться з аксіом і не задіює поняття площі фігури . У ньому для трикутника $ \ triangle ABC $ з прямим кутом при вершині $ C $ зі сторонами $ a, b, c $, протилежними вершинами $ A, B, C $ відповідно, проводиться висота $ CH $, при цьому (відповідно до ознакою подібності по рівності двох кутів) виникають співвідношення подібності: $ \ triangle ABC \ sim \ triangle ACH $ і $ \ triangle ABC \ sim \ triangle CBH $, з чого безпосередньо слідують співвідношення:

$ \ Frac {a} {c} = \ frac {| HB |} {a} $; $ \ Frac {b} {c} = \ frac {| AH |} {b} $.

При перемножуванні крайніх членів пропорцій виводяться рівності:

$ A ^ 2 = c \ cdot | HB | $; $ B ^ 2 = c \ cdot | AH | $,

покомпонентное складання яких дає необхідний результат:

$ A ^ 2 + b ^ 2 = c \ cdot \ left (| HB | + | AH | \ right) = c ^ 2 \, \ Leftrightarrow \, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 $.

Докази методом площ правити

Велике число доказів задіють поняття площі. Незважаючи на видиму простоту багатьох з них, такі докази використовують властивості площ фігур, докази яких складніше докази самої теореми Піфагора.

Доказ через равнодополняемость правити

Схема докази через равнодополняемость.

Доказ через равнодополняемость використовує чотири копії прямокутного трикутника з катетами $ a, b $ і гіпотенузою $ c $, розташовані таким чином, щоб утворювати квадрат зі стороною $ a + b $ і внутрішній чотирикутник зі сторонами довжиною $ c $. Внутрішній чотирикутник в цій конфігурації є квадратом , Так як сума двох протилежних прямому гострих кутів - 90 °, а розгорнутий кут - 180 °. Площа зовнішнього квадрата дорівнює $ (a + b) ^ 2 $, він складається з внутрішнього квадрата площею $ c ^ 2 $ і чотирьох прямокутних трикутників, кожен площею $ \ frac {ab} {2} $, в результаті зі співвідношення $ (a + b) ^ 2 = 4 \ cdot \ frac {ab} {2} + c ^ 2 $ при алгебраїчному перетворенні слід твердження теореми.

доказ Евкліда правити

Креслення до доказу Евкліда. Основний напрямок докази - встановлення конгруентності $ \ triangle ACK \ cong \ triangle ABD $, площа яких становить половину площі прямокутників $ AHJK $ і $ ACED $ відповідно.

Класичне доказ Евкліда направлено на встановлення рівності площ між прямокутниками, освіченими з розсічення квадрата над гипотенузой висотою з прямого кута з квадратами над катетами.

Конструкція, яка використовується для доказу наступна: для прямокутного трикутника $ \ triangle ABC $ з прямим кутом $ C $, квадратів над катетами $ ACED $ і $ BCFG $ і квадрата над гипотенузой $ ABIK $ будується висота $ CH $ і продовжує її промінь $ s $, який розбиває квадрат над гипотенузой на два прямокутника $ AHJK $ і $ BHJI $. Доказ націлене на встановлення рівності площ прямокутника $ AHJK $ з квадратом над катетом $ AC $; рівність площ другого прямокутника, що становить квадрат над гипотенузой, і прямокутника над іншим катетом встановлюється аналогічним чином.

Рівність площ прямокутника $ AHJK $ і $ ACED $ встановлюється через конгруентність трикутників $ \ triangle ACK $ і $ \ triangle ABD $, площа кожного з яких дорівнює половині площі квадратів $ AHJK $ і $ ACED $ відповідно в зв'язку з наступним властивістю: площа трикутника дорівнює половині площі прямокутника, якщо у фігур є загальна сторона, а висота трикутника до загальної стороні є іншою стороною прямокутника. Конгруентність трикутників випливає з рівності двох сторін (сторони квадратів) і куту між ними (складеного з прямою кута і кута при $ A $.

Таким чином, доказом встановлюється, що площа квадрата над гипотенузой, складеного з прямокутників $ AHJK $ і $ BHJI $, дорівнює сумі площ квадратів над катетами.

Доказ Леонардо да Вінчі правити

Креслення до доказу Леонардо да Вінчі

До методу площ відноситься також доказ, знайдене Леонардо да Вінчі . Нехай дано прямокутний трикутник $ \ triangle ABC $ з прямим кутом $ C $ і квадрати $ ACED $, $ BCFG $ і $ ABHJ $ (див. Малюнок). У цьому доказі на стороні $ HJ $ останнього в зовнішню сторону будується трикутник, конгруентний $ \ triangle ABC $, притому відбитий як щодо гіпотенузи, так і щодо висоти до неї (тобто $ JI = BC $ і $ HI = AC $). Пряма $ CI $ розбиває квадрат, побудований на гіпотенузі на дві рівні частини, оскільки трикутники $ \ triangle ABC $ і $ \ triangle JHI $ рівні з побудови. Доказ встановлює конгруентність чотирикутників $ CAJI $ і $ DABG $, площа кожного з яких, виявляється, з одного боку, яка дорівнює сумі половин площ квадратів на катетах і площі вихідного трикутника, з іншого боку - половині площі квадрата на гіпотенузі плюс площа вихідного трикутника. Разом, половина суми площ квадратів над катетами дорівнює половині площі квадрата над гипотенузой, що рівносильно геометричній формулюванні теореми Піфагора.

Доказ методом нескінченно малих правити

Доказ методом нескінченно малих

Існує кілька доказів, які вдаються до техніки диференціальних рівнянь . Зокрема, Харді приписується доказ, що використовує нескінченно малі збільшення катетів $ a $ і $ b $ і гіпотенузи $ c $, і зберігають подобу з вихідним прямокутником, тобто, щоб забезпечити виконання наступних диференціальних співвідношень:

$ \ Frac {da} {dc} = \ frac {c} {a} $, $ \ frac {db} {dc} = \ frac {c} {b} $.

Розділення змінних з них виводиться диференціальне рівняння $ c \ dc = a \, da + b \, db $, інтегрування якого дає співвідношення $ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + \ mathrm {Const} $. Застосування початкових умов $ a = b = c = 0 $ визначає константу як 0, що в результаті дає твердження теореми.

Квадратична залежність в остаточній формулі з'являється завдяки лінійної пропорційності між сторонами трикутника і приростами, тоді як сума пов'язана з незалежними вкладами від збільшення різних катетів.

Варіації і узагальнення правити

Подібні геометричні фігури на трьох сторонах правити

Узагальнення для подібних трикутників, площа зелених фігур рівні площі синьою.

Узагальнення для подібних трикутників, площа зелених фігур рівні площі синьою

Теорема Піфагора з використанням подібних прямокутних трикутників.

Важливе геометричне узагальнення теореми Піфагора дав Евклід в « Засадах », Перейшовши від площ квадратів на сторонах до площ довільних подібних геометричних фігур [8] : Сума площ таких фігур, побудованих на катетах, буде дорівнює площі подібної їм фігури, побудованої на гіпотенузі.

Головна ідея цього узагальнення полягає в тому, що площа подібної геометричної фігури пропорційна квадрату будь-якого свого лінійного розміру і зокрема квадрату довжини будь-якого боку. Отже, для подібних фігур з площами $ A $, $ B $ і $ C $, побудованих на катетах з довжинами $ a $ і $ b $ і гіпотенузі $ c $ відповідно, має місце співвідношення:

$ \ Frac {A} {a ^ 2} = \ frac {B} {b ^ 2} = \ frac {C} {c ^ 2} \, \ Rightarrow \, A + B = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} C + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} C $.

Так як по теоремі Піфагора $ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 $, то виконано $ A + B = C $.

Крім того, якщо можливо довести без залучення теореми Піфагора, що для площ трьох подібних геометричних фігур на сторонах прямокутного трикутника виконано співвідношення $ A + B = C $, то з використанням зворотного ходу докази узагальнення Евкліда можна вивести доказ теореми Піфагора. Наприклад, якщо на гіпотенузі побудувати конгруетний початкового прямокутний трикутник площею $ C $, а на катетах - два подібних йому прямокутних трикутника з площами $ A $ і $ B $, то виявляється, що трикутники на катетах утворюються в результаті поділу початкового трикутника його висотою, тобто сума двох менших площ трикутників дорівнює площі третього, таким чином $ A + B = C $ і, застосовуючи співвідношення для подібних фігур, виводиться теорема Піфагора.

теорема косинусів правити

Шаблон: Головна Теорема Піфагора - це окремий випадок більш загальної теореми косинусів, яка пов'язує довжини сторін в довільному трикутнику [9] :

$ A ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos {\ theta} = c ^ 2 $,

де $ \ theta $ - кут між сторонами $ a $ і $ b $. Якщо кут дорівнює 90 °, то $ \ cos \ theta = 0 $, і формула спрощується до звичайної теореми Піфагора.

довільний трикутник правити

Файл: Tâbit ibn Qorra.PNG

Існує узагальнення теореми Піфагора на довільний трикутник, що оперує виключно співвідношенням довжин сторін, вважається, що воно вперше було встановлено сабійскім астрономом Сабітом ібн Куррі [10] . У ньому для довільного трикутника зі сторонами $ a, b, c $ в нього вписується трикутник з основою на стороні $ c $, вершиною, що збігається з вершиною вихідного трикутника, протилежні стороні $ c $ і кутами при підставі, рівними кутку $ \ theta $, протилежного стороні $ c $. В результаті утворюються два трикутника, подібних вихідного: перший - зі сторонами $ a $, далекої від неї бічною стороною вписаного рівнобедреного трикутника, і $ r $ - частини боку $ c $; другий - симетрично до нього від сторони $ b $ зі стороною $ s $ - відповідною частиною боку $ c $. В результаті виявляється виконано співвідношення [11] [12] :

$ A ^ 2 + b ^ 2 = c (r + s) $,

вироджується в теорему Піфагора при $ \ theta = \ pi / 2 $. Співвідношення є наслідком подібності утворених трикутників:

$ \ Frac {c} {a} = \ frac {a} {r}, \, \ frac {c} {b} = \ frac {b} {s} \, \ Rightarrow \, cr + cs = a ^ 2 + b ^ 2 $.

Теорема Паппа про площі правити

Теорема Паппа про площі , Що дозволяє для довільного трикутника і довільних паралелограмів на двох його сторонах побудувати паралелограм на третій стороні таким чином, щоб його площа дорівнювала сумі площ двох заданих паралелограмів, також може бути розглянута як узагальнення теореми Піфагора [13] : В разі, коли вихідний трикутник - прямокутний, а на катетах як паралелограмів задані квадрати, квадрат, побудований на гіпотенузі виявляється задовольняє умовам теореми Паппа про площах.

багатовимірні узагальнення правити

Узагальненням теореми Піфагора для тривимірного евклідового простору є теорема де Гуа : Якщо тетраедр має прямий кут, то квадрат площі грані, що лежить навпроти прямого кута, дорівнює сумі квадратів площ інших трьох граней. Цей висновок може бути узагальнено і як « Шаблон: Mvar -мірним теорема Піфагора »для евклідових просторів вищих розмірностей [14] - для граней ортогонального $ n $ -мірного симплекса з площами $ S_1, \ dots, S_n $ ортогональних граней і противолежащей їм межі площею $ S_0 $ виконано співвідношення:

$ S_0 ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ n S_i ^ 2 $.

Ще одне багатовимірне узагальнення виникає з задачі знаходження квадрата довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда : Для її обчислення необхідно двічі застосувати теорему Піфагора, в результаті вона складе суму квадратів довжин трьох суміжних сторін паралелепіпеда. У загальному випадку, довжина діагоналі $ n $ -мірного прямокутного паралелепіпеда із суміжними сторонами з довжинами $ a_1, \ dots, a_n $ становить:

$ D ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ n a_i ^ 2 $,

як і в тривимірному випадку, результат є наслідком послідовного застосування теореми Піфагора до прямокутним трикутниках в перпендикулярних площинах.

Узагальненням теореми Піфагора для бесконечномерного простору є рівність Парсеваля [15] .

неевклидова геометрія правити

Теорема Піфагора виводиться з аксіом евклідової геометрії і недійсна для неевклідової геометрії [16] - виконання теореми Піфагора рівносильно постулату Евкліда про паралельність [17] [18] .

У неевклідової геометрії співвідношення між сторонами прямокутного трикутника обов'язково буде у формі, відмінній від теореми Піфагора. Наприклад, в сферичної геометрії всі три сторони прямокутного трикутника, які обмежують собою октант одиничної сфери, мають довжину $ \ pi / 2 $, що суперечить теоремі Піфагора.

При цьому теорема Піфагора справедлива в гіперболічної і еліптичної геометрії, якщо вимога про прямоугольности трикутника замінити умовою, що сума двох кутів трикутника має дорівнювати третього [19] .

сферична геометрія правити

Шаблон: Головна

Файл: Triangle sphérique.svg.png

Для будь-якого прямокутного трикутника на сфері радіусом $ R $ (наприклад, якщо кут $ \ gamma $ в трикутнику прямий) зі сторонами $ a, b, c $ співвідношення між сторонами має вигляд [20] :

$ \ Cos \ left (\ frac {c} {R} \ right) = \ cos \ left (\ frac {a} {R} \ right) \ cdot \ cos \ left (\ frac {b} {R} \ right) $.

Це рівність може бути виведено як особливий випадок сферичної теореми косинусів , Яка справедлива для всіх сферичних трикутників:

$ \ Cos \ left (\ frac {c} {R} \ right) = \ cos \ left (\ frac {a} {R} \ right) \ cdot \ cos \ left (\ frac {b} {R} \ right) + \ sin \ left (\ frac {a} {R} \ right) \ cdot \ sin \ left (\ frac {b} {R} \ right) \ cdot \ cos \ gamma $.

Застосовуючи ряд Тейлора в функції косинуса ($ \ cos x \ approx 1 - \ dfrac {x ^ 2} {2} $) можна показати, що якщо радіус $ R $ прагне до нескінченності , А аргументи $ \ dfrac {a} {R} $, $ \ dfrac {b} {R} $ і $ \ dfrac {c} {R} $ прямують до нуля, то сферичне співвідношення між сторонами в прямокутному трикутнику наближається до теоремі Піфагора.

геометрія Лобачевського правити

Файл: Hyperbolic triangle.svg.png

В геометрії Лобачевського для прямокутного трикутника зі сторонами $ a, b, c $ зі стороною $ c $, противолежащей прямого кута, співвідношення між сторонами буде наступним [21] :

$ \ Operatorname {ch} c = \ operatorname {ch} a \ cdot \ operatorname {ch} b $,

де $ \ operatorname {ch} $ - гіперболічний косинус [22] . Ця формула є окремим випадком гіперболічної теореми косинусів, яка справедлива для всіх трикутників [23] :

$ \ Operatorname {ch} c = \ operatorname {ch} a \ cdot \ operatorname {ch} b - \ operatorname {sh} a \ cdot \ operatorname {sh} b \ cdot \ cos \ gamma $,

де $ \ gamma $ - кут, вершина якого протилежна стороні $ c $.

Використовуючи ряд Тейлора для гіперболічного косинуса ($ \ operatorname {ch} x \ approx 1 + x ^ 2/2 $) можна показати, що якщо гіперболічний трикутник зменшується (тобто, коли $ a $, $ b $ і $ c $ прагнуть до нуля) , то гіперболічні співвідношення в прямокутному трикутнику наближаються до співвідношення класичної теореми Піфагора.

Відстань в двовимірних прямокутних системах правити

Найважливіше застосування теореми Піфагора - визначення відстані між двома точками в прямокутній системі координат : Відстань $ s $ між точками з координатами $ (a, b) $ і $ (c, d) $ одно:

$ S = \ sqrt {(ac) ^ 2 + (bd) ^ 2} $.

Для комплексних чисел теорема Піфагора дає природну формулу для знаходження модуля комплексного числа - для $ z = x + yi $ він дорівнює довжині радіус-вектора на комплексній площині до точки $ (x, y) $:

$ | Z | = \ Sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} $.

Відстань між комплексними числами $ z_1 = x_1 + y_1i $ і $ z_2 = x_2 + y_2i $ також представляється в формі теореми Піфагора [24] :

$ | Z_1 - z_2 | = \ Sqrt {(x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2} $.

евклидова метрика правити

евклидова метрика - функція відстані в евклідових просторах , Яка визначається за теоремою Піфагора, безпосереднім її застосування в двовимірному випадку, і послідовним в багатовимірному; для точок $ n $ -мірного простору $ p = (p_1, \ dots, p_n) $ і $ q = (q_1, \ dots, q_n) $ відстань $ d (p, q) $ між ними визначається наступним чином:

$ D (p, q) = \ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ n {(p_i - q_i) ^ 2}} $.

теорія чисел правити

Числа Піфагора - набір з трьох натуральних чисел $ (X, \; y, \; z) $, які можуть бути довжинами сторін прямокутного трикутника, тобто натуральні числа, що задовольняють діофантових рівнянь $ X ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $. Піфагорові трійки грають важливу роль в теорії чисел , Завдання їх ефективного знаходження породила широкий пласт робіт починаючи з найдавніших часів до аж до сучасності. формулювання Великої теореми Ферма аналогічне завданню знаходження піфагорових трійок для ступеня більше 2.

Шаблон: Навігація

Новости:

Все права защищены © 2013 Компания TeploDom. Монтаж и обслуживания теплотехнического оборудования